高一数学知识点总结_直线与方程知识点

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2020-06-30

高一数学怎么学?多预习,预习还可以培养自己的自学能力。今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结,接下来随着小编一起来看看吧!

高一数学知识点总结(一)

直线的倾斜角与斜率

定义:

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

范围:

倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。

理解:

(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;

(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。

意义:

①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;

②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;

③倾斜角相同,未必表示同一条直线。

公式:

k=tanα

k>0时α∈(0°,90°)

k<0时α∈(90°,180°)

k=0时α=0°

当α=90°时k不存在

ax+by+c=0(a≠0)倾斜角为A,

则tanA=-a/b,

A=arctan(-a/b)

当a≠0时,

倾斜角为90度,即与X轴垂直

练习题:

1.直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为()

A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.-45°

【解析】选B.直线l的斜率为k==-1,所以直线的倾斜角为钝角135°.

2.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则()

A.0°≤α<180°

B.0°≤α<135°

C.0°<α≤135°

D.0°<α<135°

【解析】选D.直线l与x轴相交,可知α≠0°,

又α与α+45°都是倾斜角,从而有

得0°<α<135°.

3.直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍,则l的斜率为()

A.1B.1C.3D.4

【解析】选B.因为tanα=,0°≤α<180°,所以α=30°,

故2α=60°,所以k=tan60°=.故选B.

高一数学知识点总结(二)

直线的方程

定义:

从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,两直线平行;有无穷多解时,两直线重合;只有一解时,两直线相交于一点。常用直线向上方向与X轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直,也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标,称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置,由它的斜率和一个截距完全确定。在空间,两个平面相交时,交线为一条直线。因此,在空间直角坐标系中,用两个表示平面的三元一次方程联立,作为它们相交所得直线的方程。

表达式:

斜截式:y=kx+b

两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)

点斜式:y-y1=k(x-x1)

截距式:(x/a)+(y/b)=0

补充一下:最基本的标准方程不要忘了,AX+BY+C=0,

因为,上面的四种直线方程不包含斜率K不存在的情况,如x=3,这条直线就不能用上面的四种形式表示,解题过程中尤其要注意,K不存在的情况。

练习题:

1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则()

A.直线经过点(2,-1),斜率为-1

B.直线经过点(-2,-1),斜率为1

C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1

D.直线经过点(1,-2),斜率为-1

【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)],所以直线过点(-1,-2),斜率为-1.

2.直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有()

A.k=-,b=3B.k=-,b=-2

C.k=-,b=-3D.k=-,b=-3

【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3,故k=-,b=-3.

3.已知直线l的方程为y+1=2(x+),且l的斜率为a,在y轴上的截距为b,则logab的值为()

A.B.2C.log26D.0

【解析】选B.由题意得a=2,令x=0,得b=4,所以logab=log24=2.

4.直线l:y-1=k(x+2)的倾斜角为135°,则直线l在y轴上的截距是()

A.1B.-1C.2D.-2

【解析】选B.因为倾斜角为135°,所以k=-1,

所以直线l:y-1=-(x+2),

令x=0得y=-1.

5.经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是()

A.x=-1B.y=1

C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)

【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=.

则所求直线方程为y-1=(x+1).

高一数学知识点总结(三)

直线的交点坐标与距离公式

二次函数抛物线顶点式&顶点坐标

顶点式:y=a(x-h)^2+k (a≠0,k为常数,x≠h)

顶点坐标公式顶点坐标:(-b/2a),(4ac-b^2)/4a)

二次函数y=ax2;,y=a(x-h)2;,y=a(x-h)2;+k,y=ax2;+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式

y=ax2

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

顶点坐标

[0,0]

[h,0]

[h,k]

[-b/2a,(4ac-b2)/4a ]

对 称 轴

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;

当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

因此,研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上"当a<0时,开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是[-b/2a,(4ac-b2)/4a]

3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|=.

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

5.抛物线y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=时,y最小(大)值=.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=ax2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x2)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

高一数学知识点总结(四)

直线与抛物线的交点

  高一数学知识点总结(五)

  《直线与方程》知识点整理

  1. 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°.则直线l的倾斜角 的范围是 .

  2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 . 如果知道直线上两点 ,则有斜率公式 . 特别地是,当 ,时,直线与x轴垂直,斜率k不存在;当 , 时,直线与y轴垂直,斜率k=0.

  注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k=0;当 时,斜率 ,随着α的增大,斜率k也增大;当时,斜率 ,随着α的增大,斜率k也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

  两条直线平行与垂直的判定

  1. 对于两条不重合的直线 、 ,其斜率分别为 、 ,有:

  (1) ? ;(2) ? .

  2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于x轴;….

  直线的点斜式方程

  1. 点斜式:直线 过点 ,且斜率为k,其方程为 .

  2. 斜截式:直线 的斜率为k,在y轴上截距为b,其方程为 .

  3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线 过点 且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为,或 .

  4. 注意: 与 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 ,后者才是整条直线.

  直线的两点式方程

  1. 两点式:直线 经过两点 ,其方程为 ,

  2. 截距式:直线 在x、y轴上的截距分别为a、b,其方程为 .

  3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

  4. 线段 中点坐标公式 .

  直线的一般式方程

  1. 一般式: ,注意A、B不同时为0. 直线一般式方程 化为斜截式方程 ,表示斜率为 ,y轴上截距为 的直线.

  2 与直线 平行的直线,可设所求方程为 ;与直线 垂直的直线,可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 .

  经过点 ,且平行于直线l的直线方程是 ;

  经过点 ,且垂直于直线l的直线方程是 .

  3. 已知直线 的方程分别是: ( 不同时为0), ( 不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别:

  (1) ; (2) ;

  (3) 与 重合 ; (4) 与 相交 .

  如果 时,则 ; 与 重合 ; 与 相交 .

  两条直线的交点坐标

  1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 .若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合.

  2. 方程 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 与 的交点.

  两点间的距离

  1. 平面内两点 , ,则两点间的距离为: .

  特别地,当 所在直线与x轴平行时, ;当 所在直线与y轴平行时, ;当 在直线 上时, .

  2. 坐标法解决问题的基本步骤是:(1)建立坐标系,用坐标表示有关量;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系.


高一数学知识点总结_直线与方程知识点

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