初中数学丨考试重点——有趣的因式分解

理智的瘋纸

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2021-02-23

什么是因式分解

     把一个多项式化为几个整式乘积的形式,这种变形叫做因式分解(也叫作分解因式),它是中学数学中最重要的恒等变形之一.

     因式分解没有普遍适用的方法,往往需要观察题目中多项式的形式、次数、系数特征,具体问题具体来分析.

     初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法,考试也以这两种方法为主。当然除此之外,我们还有十字相乘法,分组分解法,拆项和添减项法,待定系数法,双十字相乘法,换元法等内容需要给大家介绍.

因式分解的原则

在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则:

(1)结果一定是乘积的形式;

(2)每一个因式都是整式;

(3)相同因式的积要写成幂的形式;

(4)每个因式中不能含有同类项,如果有需要合并的同类项,合并后要注意能否再分解;

(5)没有大括号和中括号;

(6)单项式因式写在多项式因式的前面;

(7)多项式因式第一项系数一般不为负;

(8)如无特别说明,因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

接下来我们按照优先级来逐一介绍因式分解的几种方法。

因式分解具体方法

提公因式法

如果多项式的各项有公因式,将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法:

(1)系数——取多项式各项系数的最大公约数;

(2)字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

易错点:

提公因式后项数不变,易漏掉常数项.

例题

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口诀:找准公因式,全家都搬走,提负要变号,变形看奇偶。

公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

常用公式

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例题

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十字相乘法

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十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中。

十字相乘一般是两种形式:

形式一

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形式二

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相关练习

分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法,能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法.

例题

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相关练习

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拆添项法

拆项添项法:为了分组分解,常常采用拆项添项的方法,使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.

常用思路:在按某一字母降幂排列的三项式中,拆开中项是最常见的.

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换元法

换元法作为一种因式分解的常用方法,其实质是整体思想,当看作整体的多项式比较复杂时,应用换元法能够起到简化计算的作用.

例题

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主元法

在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时,可以选其中的某一个未知数为主元,把其他未知数看成是字母系数进行因式分解.

例题

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双十字相乘法

例题

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总结

     除了以上几种方法之外,因式分解的方法还有配方法,求根法,图像法,待定系数法等,但初中阶段并不常见,限于篇幅关系,本文就不逐一介绍了,有兴趣的同学可以自行查阅资料了解.

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